[Sunnata]

Giả thuyết Poincaré
Poincaré Conjecture

Henri Poincaré (1854-1912). GIẢ THUYẾT POINCARÉ là một bài toán vĩ đại do Henri Poincaré, “con quỷ toán học”, nêu lên từ năm 1904 và đã được giải quyết trọn vẹn bởi Grigori Perelman năm 2006. Đến nay “sự kiện Perelman” đã “cũ”, nhưng giả thuyết Poincaré vẫn luôn luôn là một nguồn kích thích những suy tư về bản chất của không gian – một câu hỏi lớn của vật lý và triết học tự ngàn xưa. Đó là điều đã được Phạm Việt Hưng đề cập đến trong bài báo về Giả thuyết Poincaré trên Tia Sáng số 12 Tháng 07.2003 – khi lời giải của Perelman mới được công bố trên mạng còn “chưa ráo mực” và giới toán học đang còn “nín thở” chờ đợi “phán quyết” của Hội đồng Toán học Thế giới…

Một tin tức gây chấn động thế giới toán học: tiến sĩ toán học Grigori Perelman tại Viện toán học Steklov thuộc Viện Hàn Lâm Khoa Học Nga ở St. Petersburg, sau nhiều năm kiên trì nghiên cứu, mới đây đã tuyên bố rằng ông đã chứng minh được Giả thuyết Poincaré (Poincaré ‘s Conjecture) – một trong những bài toán nổi tiếng nhất chưa có lời giải trong suốt một thế kỷ qua. Tờ New York Times ngày 15-04-2003 nhận định: Nếu chứng minh của Perelman được công nhận thì đây sẽ là một sự kiện lớn của toán học thế giới, và Perelman sẽ được Viện toán học Clay thuộc Đại học Cambridge ở Anh  trao tặng giải thưởng trị giá 1 triệu US $ (ngang với giải Nobel), vì Giả thuyết Poincaré là một trong 7 định lý quan trọng nhất trong thiên niên kỷ thứ hai chưa được chứng minh.

1. Cuộc hành trình của Perelman :

Tiếng đồn về công trình của Perelman đã lan truyền rộng rãi từ tháng 11 năm ngoái sau khi  ông công bố trên Internet những kết quả chủ yếu trong công trình của ông. Trong suốt mấy tháng qua, Perelman đã gặp gỡ các đồng nghiệp tại Mỹ để trao đổi và đã có 2 cuộc báo cáo chuyên môn tại Đại học MIT ở Massachusetts, và Đại học New York ở Stony Brook.

Tuy nhiên đến nay Perelman vẫn chưa công bố công trình của mình trên bất kỳ một ấn bản khoa học chính thức nào. Ông từ chối phỏng vấn, nói rằng điều này còn quá sớm. Tờ New York Times cho biết sẽ còn phải mất nhiều tháng trời để các nhà toán học khác xem xét lại thật kỹ càng từng chi tiết nhỏ nhặt trong chứng minh của Perelman, trước khi đi đến một kết luận chung cuộc.

Không khí căng thẳng này làm người ta nhớ đến khung cảnh thế giới toán học năm 1993 khi Andrew Wiles lần đầu tiên trình bầy công khai chứng minh của mình đối với Định Lý Cuối Cùng của Fermat trước mặt các nhà toán học tại Đại học Princeton. Lần ấy, chính Wiles đã phát hiện ra sai lầm của mình, và phải mất hơn một năm trời để sửa chữa chứng minh rồi mới đi đến thắng lợi cuối cùng. Dường như Perelman đã học được bài học đó. Điều lý thú là cách làm việc của hai nhà toán học này rất giống nhau. Cả hai cùng đơn thân độc mã đương đầu với một thách thức thuộc tầm cỡ ghê gớm nhất đối với bộ não của con người. Nếu Wiles đã dành trọn 7 năm cho bài toán Fermat, thì Perelman cũng đã mất 8 năm cho bài toán Poincaré. Giờ đây nhân loại đang hồi hộp chờ đợi xem liệu số phận cuối cùng của Perelman có trùng lặp với Wiles hay không, nghĩa là chứng minh của Perelman có thực sự đi đến đích cuối cùng hay không. Mọi người đều mong muốn điều đó xẩy ra, nhưng đúng là còn quá sớm để kết luận. Tuy nhiên thời gian không lâu nữa sẽ trả lời.

2. Tiếp cận Giả thuyết Poincaré :

Giả thuyết Poincaré là bài toán trung tâm của lý thuyết topo (topology), được nêu lên năm 1904 bởi nhà toán học Pháp Henri Poincaré, người được mệnh danh là Mozart của toán học và là một trong hai trụ cột của toán học thế kỷ 20 (trụ cột thứ hai là David Hilbert).

Nếu nội dung cơ bản của Định Lý Cuối Cùng của Fermat rất dễ hiểu ngay cả với học sinh phổ thông thì Giả thuyết Poincaré lại khá phức tạp, khó hiểu ngay cả với những người làm khoa học kỹ thuật. Tuy nhiên chúng ta có thể tiếp cận tới giả thuyết này bằng con đường giản lược và trực quan bằng cách bám rễ vào bài toán trong không gian 2 chiều, bài toán đơn giản nhất để từ đó hiểu nội dung của bài toán tổng quát.

Bài toán hai chiều đã được biết từ thế kỷ 19.

Đó là thế kỷ thắng lợi vĩ đại của hình học với sự ra đời của hình học phi-Euclid. Sự tồn tại của nhiều không gian hình học khác nhau nhưng tất cả đều hợp lý đã gợi ý các nhà toán học đi tìm bản chất thật sự của không gian. Mặt khác những bài toán thực tiễn của kỹ thuật cũng đòi hỏi phải khảo sát kỹ càng nhiều dạng mặt cong phức tạp. Tóm lại, cả lý thuyết lẫn thực hành trong thế kỷ 19 đều thúc đẩy toán học nghiên cứu những đặc trưng hình học của các không gian khác nhau. Người có công lớn nhất trong những nghiên cứu này trước hết phải kể đến là Bernhard Riemann với lý thuyết của ông về các đa tạp nhiều chiều (manyfolds). Người thứ hai là Henri Poincaré, với việc phát minh ra topo đại số. Bài toán cơ bản nhất của topo là bài toán khảo sát sự khác nhau về bản chất hình học giữa mặt cầu với mặt xuyến (mặt torus, hoặc mặt chiếc bánh donut mà người ý thường ăn kèm khi nhấm nháp capucino, xem minh hoạ) .

Để phát hiện sự khác nhau giữa mặt cầu và mặt xuyến, các nhà toán học xét một đường cong khép kín, giống như một “vòng thòng lọng”, nằm trên các mặt cong đó.  Nếu tuỳ ý thu nhỏ chu vi của đường cong  này, tức là nếu “xiết chặt thòng lọng”, thì điều gì sẽ xẩy ra ?

Với mặt cầu, dễ thấy rằng diện tích giới hạn bởi đường cong sẽ nhỏ dần tới 0 và quá trình này không gây ra sự huỷ hoại nào đối với mặt cầu. Nói cách khác, “thòng lọng” sẽ co rút lại thành một điểm mà vẫn bảo toàn mặt cầu. Nhưng tình hình với mặt xuyến hoàn toàn khác : trên mặt xuyến ta dễ dàng tìm được vô số “vòng thòng lọng” sao cho khi co rút lại thành một điểm, “thòng lọng” đó sẽ cắt ngang thân hình xuyến – làm rách mặt xuyến.

Đó là đặc trưng phân biệt mặt cầu với mặt xuyến. Đặc trưng này có thể diễn đạt theo một cách khác như sau:

Hình xuyến chẳng qua là kết quả của việc bóp một hình cầu – làm biến dạng hình cầu – sao cho đến một lúc nào đó quả cầu bị thủng một lỗ. Chú ý rằng khi bóp quả cầu, cho dù mặt cầu bị méo mó biến dạng (co, dãn, vặn vẹo) nhưng nếu chừng nào nó chưa bị rách, hoặc chưa bị thủng thì đặc trưng “vòng thòng lọng” vẫn được bảo toàn. Đặc trưng này chỉ biến mất khi mặt cầu bị thủng, tức là lúc mặt cầu biến thành mặt xuyến.

Vậy tất cả những mặt cầu từ nguyên thuỷ đến lúc biến dạng nhưng chưa thủng đều có đặc trưng “vòng thòng lọng” giống nhau. Để cho gọn, ta gọi tất cả những mặt cầu đó là không gian hai chiều khép kín không thủng (chú ý rằng quả cầu là không gian 3 chiều, nhưng mặt cầu là không gian 2 chiều, mặc dù nó cong).

Từ đó các nhà toán học thế kỷ 19 đã chứng minh được một định lý quan trọng:

Không gian 2 chiều khép kín không thủng là duy nhất, ý nói rằng tất cả mọi không gian hai chiều khép kín không thủng đều có đặc trưng hình học như nhau, do đó giữa chúng không có sự phân biệt, tất cả những không gian đó được coi là một – duy nhất. Thí dụ, mặt cầu và mặt của một khối hộp lập phương tuy hình dạng trông khác nhau nhưng dưới con mắt của topo học chúng là một – chúng đều là không gian hai chiều khép kín không thủng.

Một mặt lập phương có thể “bơm căng lên” để biến thành một mặt cầu vì chúng có cùng topo 2 chiều – đều là những không gian 2 chiều không thủng. Một cách tổng quát, mọi không gian 2 chiều không thủng đều có cùng topo, và do đó có thể biến hình này thành hình kia.

Định lý này có đúng trong trong không gian có số chiều lớn hơn 2 không ?

Câu hỏi này nẩy sinh trong óc Poincaré và trực giác thiên tài của ông đã trả lời : Không gian 3 chiều khép kín không thủng là duy nhất.

Henry Poincare

Đó là Giả thuyết Poincaré nguyên thuỷ. Gọi nó là giả thuyết vì đến nay chưa ai chứng minh được. Poincaré đã tổng quát hoá giả thuyết của mình trong không gian n chiều, trong đó “mặt cầu n chiều” được Poincaré gọi là “mặt-siêu-cầu” (hypersphere).

Trong toán học, bài toán này không phải được giải quyết bằng trực quan hình học như chúng ta đang trao đổi, mà bằng các phương trình đại số. Vì thế lý thuyết topo của Poincaré được gọi là topo đại số, và Poincaré được tôn vinh là cha đẻ của topo đại số. Tuy nhiên khi giải các phương trình đại số, các nhà toán học luôn luôn cảm nhận được ý nghĩa vật chất cụ thể của nó bằng cách liên tưởng đến hình ảnh trực quan của bài toán 2 chiều. Đó chính là giá trị ưu việt của hình học. Đại số và hình học gắn bó mật thiết với nhau, không hề đối lập nhau, mà bổ xung cho nhau. Thực ra đại số và hình học chỉ là “hai mặt của một đồng xu”. Phương pháp tư duy đúng đắn trong toán học là phối hợp chặt chẽ hai dạng tư duy này: dùng đại số để tự động hoá các suy diễn logic, đồng thời dùng hình học để hiểu thấu bản chất thật sự của bài toán.

3. Lược sử chứng minh Giả thuyết Poincaré :

Lịch sử chứng minh Giả thuyết Poincaré và Định Lý Cuối Cùng của Fermat có những nét tương phản thú vị.

Với n=2 (n là số mũ của x, y, z trong phương trình), Định Lý Cuối Cùng của Fermat chính là định lý Pythagoras. Sau gần 3 thế kỷ thất bại trong việc tìm một chứng minh tổng quát, các nhà toán học lao vào kiểm nghiệm định lý này bằng computer : thay số mũ n bằng những giá trị cụ thể, đặc biệt bằng những số nguyên tố rất lớn, hy vọng tìm thấy một trường hợp sai. Nhưng tất cả các trường hợp thử đều dẫn tới kết luận định lý đó đúng, không hề tìm được một trường hợp sai. Vì thế có một thời người ta ngờ rằng định lý này có thể thuộc loại bài toán không quyết định được (undecidable), tức là nó đúng nhưng không thể chứng minh được và cũng không thể phủ định được. Tư tưởng này bắt nguồn từ hai lý do: Một, nhân loại đã phải trả một giá quá đắt cho chứng minh – gần 3 thế kỷ nhưng không đạt được kết quả nào; Hai, Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness) của Kurt Godel công bố năm 1931, khẳng định rằng trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được. Đó là bối cảnh phức tạp của Định Lý Cuối Cùng của Fermat từ những năm 1930 đến cuối thế kỷ 20. Bối cảnh đó càng phức tạp bao nhiêu càng làm nổi bật công trình chứng minh của Andrew Wiles bấy nhiêu. Đó thực sự là một kỳ công của trí tuệ, bằng chứng cho thấy bộ não của con người là một cái gì đó mà computer không bao giờ có thể sánh kịp. Nhưng định mệnh thật mỉa mai: Giải thưởng trị giá khoảng 1,7 triệu US $ do Đại học Gottingen hứa trao tặng cho người đầu tiên chứng minh được Định Lý Cuối Cùng của Fermat thực tế khi trao vào tay Andrew Wiles ngày 27-06-1997 vẻn vẹn có 50.000 US$, đơn giản vì qua năm tháng, đồng tiền bị mất giá !

Trong khi đó, chuyện chứng minh Giả thuyết Poincaré có hai nét tương phản vô cùng thú vị so  với chứng minh Định Lý Cuối Cùng của Fermat.

Một, mặc dù việc chứng minh Giả thuyết Poincaré chưa đi đến đích cuối cùng nhưng bài toán này đã chiếm tới 3 giải thưởng Fields – giải thưởng có giá trị nhất trong toán học. Đó là kỷ lục dành cho một định lý. Có lẽ chỉ có một cách giả thích chuyện “trớ trêu” này là: Tầm quan trọng của chính bài toán đối với khoa học và mức độ khó khăn phi thường trong chứng minh của nó.

Hai, trình tự chứng minh Giả thuyết Poincaré thật “ngược đời”: Trường hợp bài toán trong không gian nhiều chiều hơn lại được chứng minh trước, ít chiều hơn được chứng minh sau. Dường như chứng minh trong không gian có số chiều càng thấp lại càng khó ! Thật vậy, nhận xét này không đến nỗi bị coi là “thổi phồng quá đáng” nếu biết rõ những sự thật sau đây:

Trước hết không nên quên rằng chính Poincaré đã lao vào chứng minh trường hợp không gian 3 chiều, nhưng thất bại. Ban đầu ông tưởng rằng đã tìm ra chứng minh, nhưng rồi chính ông đã phát hiện ra sai lầm của mình.

Tình trạng lại càng trở nên rối mù vào những năm 1950, khi một nhà toán học Nga chứng minh rằng Giả thuyết Poincaré là bài toán bất khả (không giải được) với n=4 và thậm chí với n=3. Nhiều người tin vào kết luận này, vì quả thật Poincaré đã thất bại với bài toán n=3. Nhưng may thay chẳng bao lâu sau, nhận định này bị thực tiễn bác bỏ.

Năm 1966, Stephen Smale được nhận giải thưởng Fields vì đã chứng minh được Giả thuyết Poincaré đúng với n=5 và n > 5 (!).

Trong những năm 1970, William Thurston, giáo sư Đại học California, đoạt giải Fields vì chứng minh rằng các đa tạp 3 chiều được cấu thành bởi nhiều mảnh đồng nhất, những mảnh này chỉ có thể liên kết với nhau theo những ràng buộc nhất định. Chứng minh này được đánh giá là đóng góp lớn vào việc chứng minh Giả thuyết Poincaré.

Năm 1982, Michel Friedman lại đoạt giải Fields vì chứng minh được Giả thuyết Poincaré đúng với n=4.

Từ đó đến nay chỉ còn lại trường hợp n=3, và đó là bài toán nguyên thuỷ của Giả thuyết Poincaré và là trường hợp khó nhất mà toàn thế giới hiện nay đang hy vọng vào chứng minh của Perelman.

Liệu kết thúc câu chuyện sẽ “có hậu” không ? Có làm chúng ta thoả mãn không ? Đó là câu hỏi mà bất kỳ ai quan tâm theo dõi câu chuyện này cũng đều đang hồi hộp chờ câu trả lời, không phải chỉ vì muốn biết 1 triệu US $ của Đại học Cambridge sẽ rơi vào tay ai, mà để xem trí tuệ con người sẽ đủ sức đương đầu với một thách đố lớn nhất thế kỷ đến đâu.

4. Nhận định sơ bộ về chứng minh của Perelman:

Perelman

(Perelman thời trẻ). Người theo dõi công trình của Perelman sát sao nhất hiện nay là Tomasz Mrowka, tiến sĩ toán học thuộc MIT – Đại học công nghệ Massachusetts – một trong những đại học lừng danh nhất nước Mỹ hiện nay. Theo Mrowka, công trình của Perelman liên hệ chặt chẽ với những tư tưởng tiền phong của Richard Hamilton, một nhà toán học nổi danh hiện nay thuộc Đại học Columbia. Hamilton là người sáng tạo ra một kỹ thuật mang tên “dòng chẩy Ricci” (Ricci flow), một công cụ mới mẻ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu các đa tạp. Công trình Perelman sử dụng công cụ đó nhiều đến nỗi Mrowka cho rằng nếu Perelman đoạt giải thưởng 1 triệu US $ của Đại học Cambridge thì sẽ phải chia giải thưởng cùng với Hamilton.

Bản thân Mrowka không dám đưa ra một nhận định cá nhân mạnh mẽ, mặc dù ông đã có 2 tháng trời trực tiếp theo dõi công trình của Perelman. Mrowka nói: “Chưa có gì chắc chắn, nhưng chúng tôi đang thảo luận rất nghiêm túc. Ông ấy (Perelman) rõ ràng là đã suy nghĩ về bài toán này rất kỹ lưỡng trong một thời gian rất dài. Vì thế sẽ rất khó khăn để bới móc được một lỗi lầm nào”. Mrowka kể rằng trong những buổi thuyết trình của Perelman, khi có bất kỳ ai chất vấn, Perelman đều trả lời ngắn gọn nhưng rất rành mạch. Mrowka và nhiều nhà toán học khác tham dự buổi thuyết trình đều cho rằng ngay cả khi kết quả cuối cùng của Perelman không đạt được mục tiêu thì điều có thể thấy rõ ngay từ bây giờ là công trình của Perelman có một đóng góp hết sức lớn lao cho toán học.

Vì thế Mrowka nhận định một cách lạc quan:

“Đây là một trong những sự kiện đáng vui mừng, dù thế nào chăng nữa thì kết thúc vẫn cứ tốt đẹp. Hoặc là ông ấy (Perelman) chứng minh được giả thuyết, hoặc nếu không ít nhất ông ấy cũng sẽ thật sự tạo ra một tiến bộ hết sức quan trọng, và chúng ta sẽ học hỏi được rất nhiều ở đó”.

Phạm Việt Hưng

truesciencesite.wordpress.com

(02)1 và (02)2: Mặt xuyến (torus), trên đó tồn tại những đường cong khép kín không thể thu nhỏ lại thành một điểm.

(03): Không gian phi-Euclid do các hoạ sĩ mô tả theo mô hình của Henri Poincaré.

(04): Tranh sơn dầu nhan đề: “Ici, la quatrième dimension” (Đây, chiều thứ tư) của Max Weber là bằng chứng cho thấy cuộc tranh luận về các loại hình học mới cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 đã truyền nguồn cảm hứng đến giới nghệ sĩ.