Chờ đợi Gödel
#1
0
0
Waiting for Gödel
Chờ đợi Gödel


[Image: 12.jpg?w=600&h=330]

Trong bài báo rất hay nhan đề “Chờ đợi Gödel”, đăng trên The New Yorker ngày 29/06/2017, Siobhan Roberts viết: “Trong lịch sử khoa học Định lý Bất toàn của Gödel xếp ngang hàng với Thuyết tương đối của Einstein và Nguyên lý Bất dịnh của Heisenberg”. Nếu tôi biết bài báo này sớm hơn, tôi sẽ phải giới thiệu nó ngay trong Hội thảo “Tác động của Định lý Gödel đối với khoa học và triết học nhận thức”, tổ chức ngày 18/10/2017 tại Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn Hà-nội. Nhưng muộn còn hơn không bao giờ, bài báo này có thể xem như một bài đọc bổ sung cho hội thảo…

Blaise Pascal, một trong những nhà toán học và triết học vĩ đại nhất mọi thời đại, ngay từ thế kỷ 17 đã nói: “Pensée fait la grandeur de l’homme” (Tư tưởng tạo nên tầm vóc con người). Tư tưởng của Định lý Bất toàn làm cho Kurt Gödel có tầm vóc vĩ đại ngang với Albert Einstein và Werner Heisenberg. Đó là điều được nhấn mạnh trong bài báo “Waiting for Gödel”, ra mắt trong dịp kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Kurt Gödel. Sau đây là bản lược dịch những phần chủ yếu của bài báo.


[Image: 2.jpg?w=600&h=356]


Tháng 06/1965, Văn phòng Thư ký Báo chí Nhà Trắng thông báo Tổng thống Gerald Ford đã quyết định tặng thưởng Huân chương Quốc gia (Mỹ) về Khoa học cho Kurt Gödel, nhà toán học và logic học người Mỹ gốc Áo. Mang biệt danh là Mr. Why do cha mẹ đặt cho, Gödel còn được biết với cái tên viết tắt là God.

Ông nhận được thư của người hâm mộ từ khắp nơi trên thế giới. Những thư từ này hiện được xếp vào các ngăn hồ sơ lưu trữ, bao gồm thư “xin chữ ký”, “câu hỏi của sinh viên và những nhà nghiên cứu nghiệp dư”, “thư cảm ơn” và “thư từ trao đổi”… Một người ở Tây Bengal tự mô tả mình là “một kẻ dốt đặc về toán” viết rằng anh ta đang tìm kiếm “Đại sư phụ Gödel”. Một nữ giáo viên dạy toán ở California cho biết cô đã phóng to một bức ảnh của Gödel để tạo ra một tấm áp phích treo ngay trong lớp của cô. Cuối cùng, Gödel được so sánh không chỉ với người bạn Albert Einstein mà còn với Franz Kafka (một nhà văn lớn viết truyện ngắn và tiểu thuyết bằng tiếng Đức, được giới phê bình xem như một trong những tác giả có ảnh hưởng lớn nhất trong thế kỉ 20, ND). Đó là ảnh hưởng từ những đóng góp của ông ─ mặc dù những đóng góp ấy chỉ bao gồm một số định lý, nhưng tất cả đều là những định lý vĩ đại, hoành tráng và kỳ diệu.

Kiệt tác của Gödel là Định lý Bất toàn (Theorem of Incompleteness). Trong lịch sử khoa học, định lý này được xếp ngang hàng với Thuyết Tương đối của Einstein và Nguyên lý Bất định của Heisenberg.

Được công bố ở Vienna vào đầu những năm 1930, khái niệm bất toàn đã ném toán học vào một phòng gương, nơi toán học phản chiếu bản thân nó với hy vọng tìm thấy sự hoàn mỹ, nhưng Định lý Bất toàn đã chứng minh bằng toán học rằng toán học không thể chứng minh tất cả mọi thứ của toán học.

Dĩ nhiên là định lý này có một sự trình bày đúng đắn và chính xác về mặt kỹ thuật, nhưng Verena Huber-Dyson đã giải thích nó cho tôi như sau: “Có nhiều sự thật hơn những gì có thể nắm bắt bằng chứng minh”. Hoặc như nhà văn người Anh Zia Haider Rahman đã viết trong phần mở đầu tác phẩm từng đoạt giải thưởng của mình, “In the Light of What We Know,” (Dưới ánh sáng của những gì chúng ta biết), rằng “Trong bất kỳ hệ thống nào đã biết, có những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh là đúng”.

Vì vậy, mặc dù Gödel công bố các kết quả của mình cách đây đã 85 năm, định lý này vẫn tiếp tục kích thích tư duy của mọi người. Trong tháng này (của năm 2016, ND), một nhóm hậu bối say mê lý thuyết của Gödel nhóm họp vào các buổi tối Thứ Năm để tham dự một khóa học đột xuất về Định lý Bất toàn, nằm trong lịch trình của Viện Nghiên cứu Xã hội Brooklyn. Một giáo trình đề cương mang tên “Gödel Without (Too Many) Tears” (Học Định lý Gödel không mất quá nhiều công sức) đã được thông báo cùng với tài liệu đọc bổ sung vén mở công trình của ông bằng những từ ngữ đơn giản. Theo tài liệu “Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse,” (Một hướng dẫn không đầy đủ về việc sử dụng và lạm dụng Định lý Gödel) cho biết, nhiều ý kiến diễn giải muôn hình muôn vẻ đã xuất hiện trong các cuộc thảo luận về toán học, triết học, khoa học computer, và trí tuệ nhân tạo, đúng như người ta đã dự kiến, nhưng đồng thời cũng xuất hiện nhiều suy tưởng xung quanh các lĩnh vực vật lý, thuyết tiến hóa, tôn giáo, thuyết vô thần, thơ ca, chính trị và thậm chí cả hiến pháp. Có một câu chuyện nổi tiếng được truyền tụng, ấy là một sự kiện trong buổi lễ Gödel điều trần để chính thức trở thành công dân Hoa Kỳ. Tại đây, Gödel đã thông báo cho vị giám khảo (đại diện chính quyền, ND) biết rằng ông đã khám phá ra tính không nhất quán (inconsistency) trong Hiến Pháp Hoa Kỳ, và điều ấy có thể tạo ra nguy cơ xuất hiện một nhà độc tài ở Mỹ. (Tưởng cũng nên nhắc lại rằng tính không nhất quán của hệ tiên đề toán học là một khám phá rất bất ngờ của Gödel, làm tiêu tan hy vọng của giới toán học đầu thế kỷ 20 hòng tìm thấy thiên đường toán học với những chân lý toán học tuyệt đối phi mâu thuẫn. Cụ thể: Định lý Gödel khẳng định không thể dùng toán học để chứng minh tính nhất quán của hệ tiên đề của toán học, ND)

Các sinh viên trong lớp học về Định lý Bất toàn tại Brooklyn Commons vào các buổi tối Thứ Năm nói trên, bao gồm một nhà khoa học computer bị ám ảnh bởi phép đệ quy (nghĩa là những phép toán tự quy chiếu, lặp đi lặp lại, giống như những con búp bê Nga Matrioshka, hoặc những bức tranh của Escher vẽ một bàn tay đang vẽ chính nó)… và một giáo viên trường tư đã trải qua một mùa đông cô đơn, đang thay đổi cuộc sống nhờ việc đọc cuốn “Gödel, Escher, Bach” của Douglas Hofstadter, người đã đoạt giải Pulitzer năm 1980.


[Image: 880e1f7c71ecf950de5dde824a900270-drawing...=347&h=289]


Ngay cả Hofstadter, giáo sư về khoa học nhận thức tại Đại học Indiana, vẫn tiếp tục suy nghĩ về Gödel. Gần đây, ông đã có hai cuộc nói chuyện về Gödel, trong đó ông nhận định Gödel là “Nhà phát minh thực sự của ngôn ngữ lập trình và các cấu trúc dữ liệu”. Khi tôi hỏi Hofstadter về khoá học nói trên, một khóa học vào tối Thứ Năm không thuận lợi lắm với mọi người, ông cho biết: “Đó là một lớp học khá thú vị”. Tổng cộng có tám người đăng ký tham gia lớp học, một con số thú vị, vì số 8 quay 90 độ thành số vô hạn ∞. Theo một cách nào đó, mọi sự rắc rối trong toán học bắt đầu từ một giai đoạn huyền ảo trong lịch sử toán học – giai đoạn cuối thế kỷ 19, khi nhà toán học người Đức Georg Cantor đưa ra những khảo cứu về những kích cỡ khác nhau của khái niệm vô hạn, từ đó phát minh ra Lý thuyết tập hợp, một lý thuyết đã trở thành một mô hình tổng quát của toán học. Cantor nói: “Một tập hợp là một Cái Nhiều (Many) tự cho phép nó được xem như một Cái Một” (ý nói một tập hợp gồm nhiều phần tử có thể được xem như Một đối tượng toán học, ND). Tuy nhiên, từ các lĩnh vực logic lân cận, nghịch lý đã xuất hiện, chẳng hạn như Tập hợp Russell ─ tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa chính nó [ Tập hợp Russell dẫn tới Nghịch lý Russell, tức Nghịch lý tập hợp, đẩy toán học vào tình trạng khốn quẫn, buộc các nhà toán học phải xét lại toàn bộ nền tảng của toán học, đặc biệt là xét lại hệ tiên đề của toán học. Để hiểu rõ vấn đề này, xin đọc Định lý Bất toàn 3: Lời Sám hối của một nhà toán học hình thức.

Đầu thế kỷ 20, Bertrand RussellAlfred North Whitehead với cuốn Principia Mathematica, và David Hilbert với “Chương trình Hilbert” đã cố gắng xây dựng một nền tảng vững chắc cho toán học bằng cách tạo ra một hệ thống toán học hình thức dựa trên các tiên đề và các quy tắc suy diễn logic. Nhưng Gödel, với Định lý Bất toàn của mình (thực ra là hai định lý), đã chấm dứt những giấc mơ này. Ông đã chứng minh rằng:

Đối với bất kỳ một hệ tiên đề hình thức nào đủ mạnh để có thể biểu diễn thông qua số học:

– Tồn tại những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh bên trong hệ đó
– Tính nhất quán của hệ không thể chứng minh được bên trong hệ đó.

Một thách đố chăng? Russell thừa nhận điều tương tự. Ông băn khoăn: “Phải chăng chúng ta nghĩ rằng 2 + 2 không bằng 4, mà bằng 4,001”…….

Peter O’Hearn, giám đốc kỹ thuật của Facebook và giáo sư tại Đại học College London, người đồng nhận giải Gödel năm nay (2016) cùng với một đồng nghiệp, Stephen Brookes, vì đã phát minh ra phương pháp logic phân ly đồng quy (concurrent separation logic), một hệ thống chứng minh mang tính cách mạng đối với phần mềm của máy tính. Ông nói với tôi: “Định lý Gödel có ảnh hưởng lớn đến những gì các nhà khoa học máy tính đang làm. Nó đặt ra một giới hạn cơ bản cho các câu hỏi chúng ta có thể trả lời bằng máy tính. Nó bảo chúng ta thực hiện phương pháp xấp xỉ ─ những lời giải xấp xỉ tốt hơn, giúp chúng ta tìm ra những câu trả lời đúng, nhưng không phải tất cả các câu trả lời đúng. Đó là một điều tích cực, bởi vì nó làm cho tôi không cố gắng làm những điều ngu ngốc, không cố gắng làm những điều bất khả” [ Chẳng hạn, áp dụng tràn lan chủ nghĩa hình thức vào giáo dục là một điều NGU NGỐC. Đó là trào lưu Toán học Mới ở tây phương từ những năm cuối 1950 đến những năm đầu 1970, hiện vẫn còn tồn tại trong những nền giáo dục lạc hậu. Chú thích của ND ].


Phạm Việt Hưng dịch
viethungpham.com
Reply